Chapter 3: വർഗ്ഗസമവാക്യങ്ങൾ (Equations)
Class 8 Mathematics - Complete Study Notes & Question Bank
ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെ സമവാക്യങ്ങൾ എന്ന വലിയ ലോകത്തേക്ക് സ്വാഗതം. ഈ അധ്യായത്തിൽ ഒരു സംഖ്യയുടെ വർഗ്ഗത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ള പ്രശ്നങ്ങൾ എങ്ങനെ ലളിതമായി പരിഹരിക്കാം എന്നാണ് നമ്മൾ നോക്കുന്നത്.
1. അടിസ്ഥാന ആശയങ്ങൾ
ഒരു സംഖ്യയുടെ വർഗ്ഗം തന്നിരുന്നാൽ ആ സംഖ്യ കണ്ടെത്താൻ നാം വർഗ്ഗമൂലം (Square Root) കാണുന്നു.
- \(x^2 = 25 \implies x = \sqrt{25} = 5\)
- \(x^2 = 100 \implies x = \sqrt{100} = 10\)
- \((x+1)^2 = 36 \implies x+1 = \sqrt{36} = 6 \implies x = 6-1 = 5\)
2. വർഗ്ഗം പൂർത്തിയാക്കൽ (Completing the Square)
ചില സമവാക്യങ്ങളിൽ നേരിട്ട് വർഗ്ഗമൂലം കാണാൻ കഴിയില്ല. അത്തരം സന്ദർഭങ്ങളിൽ ഇരുവശത്തും അനുയോജ്യമായ ഒരു സംഖ്യ കൂട്ടി സമവാക്യത്തെ ഒരു പൂർണ്ണവർഗ്ഗമാക്കി മാറ്റുന്നു.
പ്രധാന നിയമം: \(x^2 + ax\) എന്ന രൂപത്തിലുള്ള പദങ്ങളെ പൂർണ്ണവർഗ്ഗമാക്കാൻ \(x\) ന്റെ ഗുണകത്തിന്റെ പകുതിയുടെ വർഗ്ഗം \(\left(\frac{a}{2}\right)^2\) ഇരുവശത്തും കൂട്ടണം.
ഉദാഹരണം: \(x^2 + 6x = 7\) എന്ന സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക.
ഇവിടെ \(x\) ന്റെ ഗുണകം 6 ആണ്. അതിന്റെ പകുതി 3. 3-ന്റെ വർഗ്ഗം 9.
ഇരുവശത്തും 9 കൂട്ടുക:
\(x^2 + 6x + 9 = 7 + 9\)
\((x+3)^2 = 16\)
\(x+3 = \sqrt{16} = 4\)
\(x = 4 - 3 = \mathbf{1}\)
3. കൂടുതൽ ചോദ്യോത്തരങ്ങൾ (Question Bank)
| ചോദ്യങ്ങൾ | പരിഹാര രീതി |
|---|---|
| ഒരു സംഖ്യയുടെ വർഗ്ഗത്തോട് 8 കൂട്ടിയപ്പോൾ 33 കിട്ടി. സംഖ്യ ഏത്? | \(x^2 + 8 = 33 \implies x^2 = 25 \implies \mathbf{x = 5}\) |
| രണ്ട് തുടർച്ചയായ എണ്ണൽ സംഖ്യകളുടെ ഗുണനഫലം 156 ആണ്. സംഖ്യകൾ ഏവ? | \(x(x+1) = 156 \implies x^2 + x = 156\). കാൽ ഭാഗം കൂട്ടി പരിഹരിക്കുക. ഉത്തരങ്ങൾ: 12, 13 |
| ഒരു സമചതുരത്തിന്റെ വശം 2 സെന്റിമീറ്റർ വർദ്ധിപ്പിച്ചപ്പോൾ പരപ്പളവ് 100 ആയി. വശം എത്ര? | \((x+2)^2 = 100 \implies x+2 = 10 \implies \mathbf{x = 8}\) |
| ചുറ്റളവ് 40 മീറ്ററും പരപ്പളവ് 96 ച.മീറ്ററുമായ ഒരു ചതുരത്തിന്റെ വശങ്ങൾ കണ്ടെത്തുക? | വശങ്ങൾ 8 മീറ്റർ, 12 മീറ്റർ. |
